命题7.1.8：（有限求和是定义成功的）设$X$是具有$n(n\in\mathbb{N})$个元素的有限集合.设$f:X\to\mathbb{R}$是函数.并设$g:\{1\leq i\leq n\}\to X$和$h:\{1\leq i\leq n\}\to X$都是双射.则我们有

$$\sum_{i=1}^nf(g(i))=\sum_{i=1}^nf(h(i))$$

证明：证明使用数学归纳法.当$n=0$时，根据定义，$$\sum_{i=1}^nf(g(i))=\sum_{i=1}^nf(h(i))=0$$假设命题当$n=k(k\geq 0)$时成立，即

$$\sum_{i=1}^kf(g(i))=\sum_{i=1}^kf(h(i))$$

则当$n=k+1$时，设$g':\{1\leq i\leq k+1\}\to X'$和$h':\{1\leq i\leq k+1\}\to X'$都是双射.其中$X'$是具有$k+1$个元素的有限集合.当$g'(k+1)=h'(k+1)$时，结合假设，命题显然成立.当$g'(k+1)\neq h'(k+1)$时，设$g'(k+1)=h'(v)$.$h'(k+1)=g'(e)$.现在对函数$h'$动一点小手术：本来$h'(k+1)=g'(e)$,$h'(v)=g'(k+1)$,现在让$h'(k+1)=g'(k+1)$,让$h'(v)=g'(e)$，其它的保持不变.由加法的性质（我以前证过）可得这样子动了小手术之后$\displaystyle \sum_{i=0}^{k+1}f(h'(i))$值不变，而且这个小手术的好处在于把新情况转化为已经讨论过的情况.综上所述，根据数学归纳法，可得有限求和的定义是成功的.